第3周-浅层神经网络

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下面进入第三周的学习内容。

神经网络概述

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这里将神经网络与Logistic回归进行了一个简单的对比，即神经网络也需要前向传播和后向传播。另外，每一层的参数用右上标的一个方括号表示，即方括号用来区分不同的层；如果右上标是圆括号，则指具体的一个样本。

神经网络表示

下图是一个简单的双层神经网络的表示（即单隐层网络），其中也包括了一些通用的符号标记方法。
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计算神经网络的输出

图中给出了第一层隐藏层的输入和输出过程，我们可以通过将参数w进行堆叠化，再与X向量相乘，与b向量相加，得到对应的输出Z^[1]和a^[1]。
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更简单的一个解释如下图，可以看到W,a,b,z的维度的相同点与不同点。我们固定输入特征为列向量，则隐藏层参数的维数则为（隐藏层结点个数，特征总数）。
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多个样本的向量化

如果没有进行向量化，那么我们要用如下的一个for循环来实现神经网络的前向传播：
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如果进行向量化，就像下图红框中标出的，这是就不需要使用for循环了，而是一次性就可以计算所有样本。即我们的关键是，将X向量化，这样也能使得Z,A向量化。
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下面我们横向看A矩阵，矩阵A会扫过不同的训练样本，而竖向则经过当前隐藏层的不同单元；再以X矩阵为例，横向对应不同的训练样本，竖向则对应同一样本的不同输入特征（相当于输入层的不同单元）。

形象解释

接下来，对于Z^[1] = W^[1]X + b^[1]这样的向量化做了一个形象的解释。
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简单的回顾，可以看到右下角的公式可以一次性计算所有的样本，而不需要使用for循环。但是我们会注意到，仍然有地方需要使用到for循环，即遍历所有的隐藏层来计算对应的输出。
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激活函数-Activation functions

神经网络常见的几种激活函数：
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这里有几点需要注意的，以及来自经验者的一些经验法则：

  1. 如果是做二元分类，即输出值为0或1，则Sigmoid函数可以用作输出层的激活函数，其他情况下都不要使用Sigmoid函数。
  2. 一般的默认激活函数为ReLu(线性修正单元)，不过它的一个小缺点是当z小于0时，导数为0，因此有人提出了Leaky ReLu，不过挺少人使用的。
  3. 搭建神经网络时面临很多选择，如隐藏层单元数、激活函数、如何初始化权重等，当我们不确定哪些选择更有效时，可以使用交叉验证集尝试不同的选择，然后再找到最合适的来使用。

为什么神经网络需要非线性激活函数

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如图，如果我们的隐藏层激活函数都使用恒等激活函数（线性激活函数），那么我们最终得到的只是输入的线性组合，即线性隐藏层毫无作用，因为两个线性函数的组合就是线性组合。因此，我们需要使用非线性激活函数才能使神经网络有效。当然，如果我们需要的真实输出y属于实数，那么我们可以在输出层使用线性激活函数，但是隐藏层则绝对不可以（例外是有关于一些压缩机制）。

激活函数的导数

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神经网络的梯度下降公式

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推导

省略

向量化写法

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随机初始化

对于Logistic回归来说，我们可以将权重全部初始化为0，但是如果将神经网络的权重都初始化为0，则是行不通的。从图中可以知道，如果权重均为0，那么同一隐藏层中的两个隐藏层结点完全对称，即完全相同，因此并没有起到神经网络隐藏层的作用。
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解决方法是进行随机初始化，而且应该初始化成小的参数。
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我们使用np.random.randn(a,b)函数来进行随机初始化，注意到有个0.01的常数。对于浅层神经网络而言，常数设置为0.01也可以；但对于深层神经网络，则应该设置得更小。

本周作业

这周作业是创建一个单隐层神经网络，遇到了两个大坑！！！这两个大坑都是由于遇到了类似(100,)这样的向量，导致程序无法正常运行。今后在遇到bug的时候，第一个要想到这个问题！接下来记录一下整个的创建过程。

数据集

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这里就遇到了坑一，我们需要通过reshape函数来确认向量的维度才行。

Logistic Regression

这里不再是上周作业那样自己从头到尾创建，而是直接调用sklearn库中的函数。

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clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV();
clf.fit(X.T, Y.T);

其测试结果如下：
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Neural Network model

我们的神经网络模型图形如下：
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接下来是整个的网络构建过程。

确定神经网络结构-Defining the neural network structure

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def layer_sizes(X, Y):
    """
    Arguments:
    X -- input dataset of shape (input size, number of examples)
    Y -- labels of shape (output size, number of examples)
    
    Returns:
    n_x -- the size of the input layer
    n_h -- the size of the hidden layer
    n_y -- the size of the output layer
    """
    ### START CODE HERE ### (≈ 3 lines of code)
    n_x = X.shape[0] # size of input layer
    n_h = 4
    n_y = Y.shape[0] # size of output layer
    ### END CODE HERE ###
    return (n_x, n_h, n_y)

初始化模型参数-Initialize the model’s parameters

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def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
    """
    Argument:
    n_x -- size of the input layer
    n_h -- size of the hidden layer
    n_y -- size of the output layer
    
    Returns:
    params -- python dictionary containing your parameters:
                    W1 -- weight matrix of shape (n_h, n_x)
                    b1 -- bias vector of shape (n_h, 1)
                    W2 -- weight matrix of shape (n_y, n_h)
                    b2 -- bias vector of shape (n_y, 1)
    """
    
    np.random.seed(2) # we set up a seed so that your output matches ours although the initialization is random.
    
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = np.random.randn(n_h,n_x)*0.01
    b1 = np.zeros((n_h,1))
    W2 = np.random.randn(n_y,n_h)*0.01
    b2 = np.zeros((n_y,1))
    ### END CODE HERE ###
    
    assert (W1.shape == (n_h, n_x))
    assert (b1.shape == (n_h, 1))
    assert (W2.shape == (n_y, n_h))
    assert (b2.shape == (n_y, 1))
    
    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}
    
    return parameters

循环过程-The Loop

前向传播过程：

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def forward_propagation(X, parameters):
    """
    Argument:
    X -- input data of size (n_x, m)
    parameters -- python dictionary containing your parameters (output of initialization function)
    
    Returns:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2"
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###
    
    # Implement Forward Propagation to calculate A2 (probabilities)
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = np.tanh(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = sigmoid(Z2)
    ### END CODE HERE ###
    assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))
    
    cache = {"Z1": Z1,
             "A1": A1,
             "Z2": Z2,
             "A2": A2}
    
    return A2, cache

计算成本函数：

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def compute_cost(A2, Y, parameters):
    """
    Computes the cross-entropy cost given in equation (13)
    
    Arguments:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
    parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2
    
    Returns:
    cost -- cross-entropy cost given equation (13)
    """
    
    m = Y.shape[1] # number of example

    # Compute the cross-entropy cost
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    logprobs = np.multiply(np.log(A2),Y) + np.multiply(np.log(1-A2),1-Y)
    cost = -np.sum(logprobs) / m
    ### END CODE HERE ###
    
    cost = np.squeeze(cost)     # makes sure cost is the dimension we expect. 
                                # E.g., turns [[17]] into 17 
    assert(isinstance(cost, float))
    
    return cost

后向传播：

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def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
    """
    Implement the backward propagation using the instructions above.
    
    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing our parameters 
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2".
    X -- input data of shape (2, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
    
    Returns:
    grads -- python dictionary containing your gradients with respect to different parameters
    """
    m = X.shape[1]
    
    # First, retrieve W1 and W2 from the dictionary "parameters".
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]
    ### END CODE HERE ###
        
    # Retrieve also A1 and A2 from dictionary "cache".
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    A1 = cache["A1"]
    A2 = cache["A2"]
    ### END CODE HERE ###
    
    # Backward propagation: calculate dW1, db1, dW2, db2. 
    ### START CODE HERE ### (≈ 6 lines of code, corresponding to 6 equations on slide above)
    dZ2 = A2 - Y
    dW2 = np.dot(dZ2, A1.T) / m
    db2 = np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True) / m
    dZ1 = np.multiply(np.dot(W2.T, dZ2), 1-np.power(A1,2))
    dW1 = np.dot(dZ1, X.T) / m
    db1 = np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True) / m
    ### END CODE HERE ###
    
    grads = {"dW1": dW1,
             "db1": db1,
             "dW2": dW2,
             "db2": db2}
    
    return grads

参数更新：

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def update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2):
    """
    Updates parameters using the gradient descent update rule given above
    
    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters 
    grads -- python dictionary containing your gradients 
    
    Returns:
    parameters -- python dictionary containing your updated parameters 
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###
    
    # Retrieve each gradient from the dictionary "grads"
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    dW1 = grads["dW1"]
    db1 = grads["db1"]
    dW2 = grads["dW2"]
    db2 = grads["db2"]
    ## END CODE HERE ###
    
    # Update rule for each parameter
    ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
    W1 -= learning_rate * dW1
    b1 -= learning_rate * db1
    W2 -= learning_rate * dW2
    b2 -= learning_rate * db2
    ### END CODE HERE ###
    
    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}
    
    return parameters

整合最终模型-nn_model()

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def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 10000, print_cost=False):
    Y = Y.reshape((1,-1))
    """
    Arguments:
    X -- dataset of shape (2, number of examples)
    Y -- labels of shape (1, number of examples)
    n_h -- size of the hidden layer
    num_iterations -- Number of iterations in gradient descent loop
    print_cost -- if True, print the cost every 1000 iterations
    
    Returns:
    parameters -- parameters learnt by the model. They can then be used to predict.
    """
    
    np.random.seed(3)
    n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
    n_y = layer_sizes(X, Y)[2]
    
    # Initialize parameters, then retrieve W1, b1, W2, b2. Inputs: "n_x, n_h, n_y". Outputs = "W1, b1, W2, b2, parameters".
    ### START CODE HERE ### (≈ 5 lines of code)
    parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    ### END CODE HERE ###
    
    # Loop (gradient descent)

    for i in range(0, num_iterations):
         
        ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
        # Forward propagation. Inputs: "X, parameters". Outputs: "A2, cache".
        A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
        
        # Cost function. Inputs: "A2, Y, parameters". Outputs: "cost".
        cost = compute_cost(A2, Y, parameters)
 
        # Backpropagation. Inputs: "parameters, cache, X, Y". Outputs: "grads".
        grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)
 
        # Gradient descent parameter update. Inputs: "parameters, grads". Outputs: "parameters".
        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate=1.2)
        
        ### END CODE HERE ###
        
        # Print the cost every 1000 iterations
        if print_cost and i % 1000 == 0:
            print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))

    return parameters

预测-Predictions

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def predict(parameters, X):
    """
    Using the learned parameters, predicts a class for each example in X
    
    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters 
    X -- input data of size (n_x, m)
    
    Returns
    predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
    """
    
    # Computes probabilities using forward propagation, and classifies to 0/1 using 0.5 as the threshold.
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
    # predictions = [y>0.5 for y in A2] # 这里要多学习！！
    predictions = (A2 > 0.5)
    ### END CODE HERE ###
    
    return predictions

parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations = 10000, print_cost=True)

# Plot the decision boundary
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))

而具体的计算公式可以参考前面的内容。